On recurrence and transience of some Lévy-type processes in ℝ

Анотація

In this note we prove some sufficient conditions for transience and recurrence of a Lévy-type process in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , whose generator defined on the test functions is of the form <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L f left-parenthesis x right-parenthesis equals integral Underscript double-struck upper R Endscripts left-parenthesis f left-parenthesis x plus u right-parenthesis minus f left-parenthesis x right-parenthesis minus nabla f left-parenthesis x right-parenthesis dot u double-struck 1 Subscript StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to 1 Baseline right-parenthesis nu left-parenthesis x comma d u right-parenthesis comma f element-of upper C Subscript normal infinity Superscript 2 Baseline left-parenthesis double-struck upper R right-parenthesis period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo> ∫ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ⋅ </mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn mathvariant="double-struck">1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi> ν </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} Lf(x) =\int _{\mathbb {R}} \left ( f(x+u)-f(x)- \nabla f(x)\cdot u \mathbb {1}_{|u|\leq 1} \right ) \nu (x,du), \quad f\in C_\infty ^2(\mathbb {R}). \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> Here <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="nu left-parenthesis x comma d u right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ν </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\nu (x,du)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a Lévy-type kernel, whose tails are either extended regularly varying or decaying fast enough. For the proof the Foster–Lyapunov approach is used.

Класифікація

Ідентифікатори

Схожі роботи